1. Quelques rappels sur les probabilités

1. Quelques rappels sur les probabilités

Une épreuve : lancer d'une pièce de 1 Euro
- Evénement A : le résultat est 'Face'
- Na : fréquence de réalisation de l'événement A
- N : nombre de jets
- Fréquence relative de réalisation de l'événement A :

Lorsque N est très grand, fA se stabilise à une valeur constante qui est la probabilité de réalisation de l'événement A


Evènement impossible (ne se réalisera jamais en pratique) : C : la pièce retombe en équilibre sur la tranche (ni 'pile' ni 'face') P(C)=0

Probabilité

Définition 1
Probabilité p(E) d'un évènement E : limite de sa fréquence relative.
Répétition de l’épreuve un grand nombre de fois (n)

Définition 2
La probabilité p(E) d'un évènement E, lors de la réalisation d'une épreuve, est un nombre compris entre 0 et 1.0 correspond à un évènement impossible et 1 à un évènement certain. La probabilité de E sera d'autant plus grande que E se produira fréquemment.
De façon schématique :

Définition 3
Soit n le nombre de résultats possibles d'une épreuve. A tout résultat ei, associé à l'évènement élémentaire E, est attaché une probabilité pi telle que :

Probabilité

Origine :
Le jeu de dés fut, il y a plusieurs centaines d'années, à l'origine de la théorie des probabilités

Une notion importante

La notion de probabilité intervient en statistiques dans :
- définition des modèles probabilistes (lois de probabilités) ;
- mesure du degré de confiance que l'on peut accorder aux modèles ou à certaines de leurs propriétés.

On déduira d'une population connue des résultats s'appliquant à un échantillon tiré de cette population.
Les prévisions dans un contexte d'incertitude nécessitent la connaissance des lois de probabilités.

Théorèmes

- Théorème des probabilités totales

- Evènements incompatibles :

- Théorème des probabilités composées

- Evènements indépendants

- Exemples, empruntés à l'univers du jeu, servant de rappels
- Application des probabilités composées à un problème de biotechnologie

Exercice 1
On dispose d'un jeu de 32 cartes.

A/ On tire une carte au hasard. Calculer les probabilité des évènements suivants :
- tirer une carte rouge ou une carte noire
- tirer l'as de coeur
- tirer un roi et une reine
- tirer un valet ou un as
- tirer un roi ou un trèfle
- tirer un as ou une carte rouge

B/ On tire successivement 2 cartes (tirage non exhaustif / avec remise).
Calculer les probabilités des évènements suivants :
- tirer 2 fois le roi de pique
- tirer 2 as
- tirer un as et un valet
- tirer un roi et un trèfle
- tirer un as et une noire

Exercice 2
On dispose d'un jeu de 54 cartes (Poker). Dans une main de 10 cartes, calculer les probabilités d’obtenir exactement les évènements suivants :
- un carré d'As ;
- full aux dames par les valets (3 dames et 2 valets) ;
- une suite (ex : 10, valet, dame, roi, as).

Exercice 3
Un élevage (50 animaux) est composé de 10 brebis beiges, 12 brebis noires, 15 moutons blancs, 5 moutons beiges à tête noires.
Calculer la probabilité d'obtenir (exactement) 5 moutons blancs et 2 brebis lors d'une capture de 10 animaux (au hasard).

Tiangle de Pascal

Exercice 4: "Séquences de tetrapeptides"
On s'intéresse à des peptides de 4 résidus d'acide aminés (parmi les 20 plus fréquemment rencontrés). Répondez aux questions suivantes en considérant, les 2 situations : les 4 acides aminés constituant les peptides sont tous différents ou, au contraire peuvent être quelconques.

A combien de peptides différents peut-on s'attendre, à priori?
Trouver la probabilité d'obtenir un peptide contenant :

- 2 résidus proline exactement ;
- 1 résidu proline et 3 résidus hydrophobes
- 4 résidus hydrophobes ;
- au moins 2 résidus aromatiques ;
- 1 résidu hydrophile et 3 résidus hydrophobes ;
- le peptide de séquence MAGI ;
- les résidus dans les proportions suivantes A : 50%, M : 25% et I : 25%

Détaillons un calcul
Soit A, l’évènement {" le peptide contient 2 résidus proline"}
Soit B = {" présence d’un résidu proline à une position donnée"}
Soit C = {" présence d’un résidu, autre que proline, à une position donnée"} ; C = NON(B)
On ne considère toutes les séquences possibles dans cet exercice!

Dans le cas où les 2 résidus non proline sont quelconques (équivalent tirage non exhaustif , avec remise)
1 résidu proline parmi les 20 aas : P(B)=1/20
Il reste 19 aas, autres que proline à choisir sur les autres positions : P(C)=19/20 ; P(C)=P[non(B)]=1-1/20

Il y a en effet 6 combinaisons de séquences possibles : proline en positions : 1 et 2, ou 1 et 3, ou 1 et 4, ou 2 et 3, ou 2 et 4, ou 3 et 4 => nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 5)

Chaque évènement est indépendant (ce qui explique qu’on multiplie simplement les probabilités)

Dans le cas où les 2 résidus non proline sont différents

La proline peut toujours être présente en 1ère , 2ème, 3ème ou 4ème position => 6 possibilités

Il reste 19 aas, autres que proline à choisir sur la première des positions non occupée par une proline et enfin 18 aas, autres que proline à choisir sur la dernière position possible parmi 18 résidus (2 étant déjà pris). Ainsi, P(A) = 1/20 x 1/20 x (19/19) x (18/18) x 6

Détaillons un calcul

Soit A = {" le peptide contient 1 résidu proline et 3 résidus hydrophobes"}
Dans le cas où les 4 résidus sont quelconques
1 résidu proline parmi les 20 aas : 1/20
Parmi les 20 aas les plus fréquents, 8 sont classés comme hydrophobes (A, I, L, M, F, W, Y, V) : 8/20
La proline peut être présente en 1ère , 2ème, 3ème ou 4ème position => 4 combinaisons possibles

Chaque évènement est indépendant (ce qui explique qu’on multiplie les probabilités entre elles)
Nbre de peptides :
Dans le cas où les 4 résidus sont différents
La proline peut toujours être présente en 1ère , 2ème, 3ème ou 4ème position => 4 possibilités
Parmi les 19 aas, autres que proline, 8 résidus classés comme hydrophobes (A, I, L, M, F, W, Y, V) : 8/19
Le 2ème résidus placé, parmi les 18 aas non encore considérés, il en reste 7 hydrophobes : 7/18
Le 3ème résidus placé, parmi les 17 aas non encore considérés, il en reste 6 hydrophobes : 6/17

On peut retrouver ce résultats en utilisant les arragements A(n,p)
Dans le cas où les 4 résidus sont différents
Les mêmes résidus placés dans la séquence dans un ordre différent donnent des peptides différents!
L'ordre importe donc dans ce problème d'où l'utilisation des arrangements A(n,p)



Il y a A(8,3) arrangements possibles de 3 hydrophobes parmi 8
Il y a A(8,3) arrangements possibles de 3 hydrophobes parmi 8
Et il y a toujours C(4,1) combinaisons possibles d’une proline dans une séquence de 4 aas



D’où:

On retrouve bien :
P(A) = 4x8x7x6/20x19x18x17 ; Nbre de peptides : 4x1x19x18x17

Détaillons un calcul
Soit B = {" le peptide contient au moins 2 résidus aromatiques"}
Considérons son contraire : A = {"le peptide contient 0 ou 1 résidu aromatique") ; P(B) = 1 – P(A)
Considérons également les 2 évènement : E = {"le peptide ne contient aucun résidu aromatique"}
et F = {"le peptide contient un seul résidu aromatique"} ;
on a donc : P(A) = P(E) + P(F)

Dans le cas où les 4 résidus sont différents :
Les mêmes résidus placés dans la séquence dans un ordre différent donnent des peptides différents!
L'ordre importe donc dans ce problème d'où l'utilisation des
Et il y a C(4,1) combinaisons possibles de 1 aromatiques dans une séquence de 4 aas

Dans le cas où les 4 résidus sont quelconques et peuvent donc être identiques :
, l'ordre est à considérer là encore
Ainsi

Exercice 5 "L'examen de TP"
On fait passer l'examen de TP de biochimie aux étudiants de master d'une grande université (250 inscrits). L'examen consiste en 2 manips, M1 et M2, notées chacune sur 10. Un étudiant "réussit" une manip s'il obtient au moins la note de 5/10 à cette manip.

Un étudiant est reçu à l’examen de TP s’il obtient la note de 10/20 en ayant réussi les deux manips. On constate que la probabilité de réussir la manip M1 est de 0,5. La probabilité de réussir la manip M2 est, quant à elle, de 0,6. Enfin, la probabilité qu'un étudiant réussisse la manip M2 alors qu’il a réussit la manip M1 est de 0,8.
- Réussir M1et M2 sont-ils deux évènements indépendants ?
- Quelle est la probabilité d’être reçu à l’examen de TP de biochimie ?

Exercice 6 "Aimez-vous les yaourts?"
Dans une usine pilote de fabrication de yaourts, on s'intéresse à améliorer la qualité des produits destinés à la vente. La production conduit en moyenne à 96% de yaourts "BONS", c'est à dire dont les qualités organoleptiques sont conformes au cahier des charges fixé à l'origine (saveur, acidité inférieure à seuil limite, onctuosité, ...).
L'équipe que vous dirigez a mis au point un test rapide et peu coûteux, destiné à révéler la qualité des yaourts en cours de fabrication. Lorsque ce test est appliqué sur les yaourts "MAUVAIS", il se révèle positif (coloration spécifique) dans 98% des cas tandis que 90% des yaourts "BONS" conduisent à un test négatif.

A/ Donnez la probabilité que le test s'avère positif sur de mauvais yaourts
B/ Cherchez la probabilité qu'un yaourt soit mauvais alors que le test est négatif
C/ Finalement, inversez le schéma initial : au lieu de partir de la qualité réelle ("BON" ou "MAUVAIS), partez du résultat du TEST ("Test Positif" ou Test Négatif") et faites-y figurer toutes les valeurs utiles.
A QUELLES CONCLUSONS CECI CONDUIT-IL ?

Processus déterministe
Processus dans lequel un antécédent produit toujours le même effet.

Processus stochastique (aléatoire)
Processus qui, pour un antécédent donné, peut produire plusieurs effets, chacun ayant une probabilité déterminée.

Exemple de processus déterministe :

Loi de Beer-Lamber
On peut suivre une courbe de croissance (vers 620 nm) bactérienne à l’aide d’un spectrophotomètre. La cause C augmente provoque directement le même effet DO augmente.

Exemple de processus stochastiques :
- Résistance d’une souche bactérienne à un antibiotique donné (boîtes de Pétri)
- Naissance des alvins quelques jours après l’accouplement de 2 poissons